读懂波形、频率、相位、复平面与旋转向量。
从“看见”频率开始
把复杂的波，
拆成简单的旋转。
傅里叶变换并不神秘：它是在问——一个信号里，分别藏着多少种频率？先动手，再看公式；先建立直觉，再完成推导。
8阶段路径
6交互实验
3 层直觉·公式·工程
实时实验室
上：时间中看到的混合波形 下：频率中看到的两种成分
学习地图
从零基础到能解决真实问题
每一阶段只引入一个关键观念。完成实验与检查点后再前进。
从周期信号的级数，走到一般信号的连续变换。
理解采样、DFT、FFT、混叠、分辨率与窗函数。
能选参数、判读频谱、避免陷阱并迁移到多领域。
没有数学基础也可以从第一课开始。每阶段先读图和名词，再按步骤操作实验；看到公式时先认清每个符号，最后做算例和检查题。遇到不熟悉的积分，可先把它理解成“把许多很小的贡献加起来”，之后再回来看推导。
01
第一阶段预计 35 分钟
波形与频率
先别急着算：频率到底是什么？
波形描述“数值如何随时间变化”；频率描述“这种变化每秒重复多少次”。1 Hz 就是一秒完成一次完整循环。
振幅 A
波有多“高”。声音里常对应强弱，能量通常与振幅平方相关。
频率 f
波每秒循环几次，单位 Hz。周期 T = 1 / f。
相位 φ
波从循环的哪个位置出发。它改变左右位置，不改变频率。
x(t) = A · sin(2πft + φ)
展开数学层：为什么是 2πf？
正弦函数的一个完整循环是 2π 弧度。每秒循环 f 次，所以角速度是 ω = 2πf，单位 rad/s。
相位移动实验
0°：波从零点向上出发。
先读懂图
一个周期，是回到相同状态的一整圈
横轴是时间，纵轴是信号的数值。判断一圈时，要看到波形回到相同高度，而且接下来朝相同方向变化；相邻的“向上穿过零点”之间才是一整个周期。波峰之间的距离也可以用来量周期。
振幅改变上下高度，频率改变一秒里有多少圈，相位改变从这一圈的哪里开始。把三个量一次只改一个，就能看出它各自负责什么。对固定频率，正相位让波形向左移动；例如 2 Hz 加上 90°，相当于向左移动 0.125 秒。
照着实验
- 在顶部实验室把“振幅 B”调到 0，只留下 A；将 A 的频率从 2 调到 4，数一秒内的波峰如何增加。
- 保持频率不变，只改 A 的振幅，观察波峰变高，但波峰间距不变。
- 回到本阶段拖动相位滑块，比较浅色参考波与亮色波：两者间距相同，起点不同。
带着数字看
4 Hz 的波，一圈要多久？
周期 T = 1/f = 1/4 秒 = 0.25 秒。若振幅 A = 2、初相位 φ = 90°，则 x(0) = 2sin(90°) = 2；只改变相位，0.25 秒的周期仍然不变。
自己试试：2 Hz 的波在 1 秒内完成几圈？
完成 2 圈。它的周期是 0.5 秒；相位只决定从圆周的哪个位置开始数。
检查点
改变相位会让频谱峰值左右移动吗？
02
第二阶段预计 50 分钟
复数、象限与相位
所谓“象限变化”，其实是一个向量在旋转
复数不是多出来的神秘数字，而是同时记录两个方向：横轴是实部，纵轴是虚部。欧拉公式把旋转和正弦波连在了一起。
先把 a + bi 当成坐标 (a,b)；i 只是用来标记垂直方向，满足 i² = −1。下面的公式说的是：角度 θ 对应单位圆上的一个点。
eiθ = cos θ + i sin θ
| 象限 | 角度 | cos（实部） | sin（虚部） |
|---|---|---|---|
| Ⅰ | 0°～90° | ＋ | ＋ |
| Ⅱ | 90°～180° | － | ＋ |
| Ⅲ | 180°～270° | － | － |
| Ⅳ | 270°～360° | ＋ | － |
核心直觉
一个旋转向量在纵轴上的投影，就是正弦波。转得越快，频率越高；起始角度不同，相位就不同。
复平面旋转器
实部 0.707虚部 0.707模长 1.000
拆开符号
复数是平面上的一个点，也是一支箭头
写成 z = a + bi 时，a 表示左右位置，b 表示上下位置，i 满足 i² = −1。把点 (a,b) 与原点连起来，就得到一支向量。它的长度是 √(a²+b²)，与正实轴的夹角是相位。
单位圆上长度恒为 1，所以横坐标是 cosθ，纵坐标是 sinθ；这正是欧拉公式的右边。角度持续增大时，箭头逆时针旋转，纵坐标随时间起伏，形成正弦波。落在坐标轴上的点要单独判断，不能硬归入某个象限。
照着实验
- 把角度依次调到 0°、90°、180°、270°，记录实部与虚部的符号和数值。
- 调到 45°，比较两个分量：它们相等，约为 0.707；平方后相加应接近 1。
- 再调到 120°，先自己判断象限，再核对图中的坐标与下方读数。
带着数字看
把 120° 写成复数
ei120° = cos120° + i sin120° = −1/2 + i√3/2。实部为负、虚部为正，所以向量在第二象限；模长仍为 1。
自己试试：旋转 180° 后，实部与虚部分别是多少？
cos180° = −1，sin180° = 0，因此落在负实轴上，不属于任何一个开放象限。
概念检查
单位向量旋转到 120°，哪一部分是负数？
03
第三阶段预计 70 分钟
傅里叶级数
用许多简单正弦波，拼出复杂的周期波
对周期为 T 的信号，基频是 f₀ = 1/T。傅里叶级数用基频及其整数倍——谐波——逐步逼近原信号。
读下面的式子时，先把 Σ 理解成“从第 1 项开始不断相加”。a₀/2 是波形的平均水平；每个 aₙ、bₙ 决定一种余弦或正弦要加多少。
x(t) = a₀/2 + Σ [aₙ cos(nω₀t) + bₙ sin(nω₀t)]ω₀ = 2π/T，n = 1, 2, 3…
- 选基频周期决定最慢的一圈。
- 逐个比较用内积测量信号与每个正弦/余弦的相似程度。
- 得到系数系数告诉你每种谐波需要多少。
- 重新相加保留越多谐波，重建越精细。
吉布斯现象
在方波跳变处，即使加入越来越多谐波，过冲不会完全消失，只会挤到更窄的区域；极限过冲约为跳变量的 9%。
方波合成器
方波只需要奇次谐波：1、3、5…；振幅按 1/n 衰减。
公式从哪里来
“逐个比较”就是计算投影
在一个完整周期里，频率不同的整数倍正弦波互相正交：相乘后，正负面积会抵消。要找第 n 个正弦成分，就把原信号乘以 sin(nω₀t)，再在一个周期内求平均。得到的系数为 bₙ = (2/T)∫₀ᵀx(t)sin(nω₀t)dt；余弦系数 aₙ 用同样方法得到。
方波上下半周互为相反数，因此偶次谐波在投影时抵消，留下 1、3、5… 次。实验滑块的“5 个”指前五个奇次谐波，即 1、3、5、7、9 次；它不是只保留到五次频率。
照着实验
- 先只保留 1 个奇次谐波：曲线还是光滑的正弦波，无法出现方波的尖锐边缘。
- 逐步调到 3、10、25 个，观察平坦部分是否更接近目标、跳变附近的波纹是否更集中。
- 留意跳变处：项数增加后波纹区域缩窄，但最高过冲没有简单消失。
带着数字看
方波的前两项是什么？
对幅值 ±1 的对称方波，x(t) ≈ (4/π)[sin(ω₀t) + sin(3ω₀t)/3]。基频项幅值约 1.273，三次谐波幅值约 0.424；偶次谐波系数为零。
自己试试：为什么加到 25 项，跳变处仍有过冲？
不连续点附近的振荡区域会变窄，但峰值相对跳变量的比例趋向约 9%。这不是画图误差，而是傅里叶部分和的吉布斯现象。
概念检查
这个对称方波的二次谐波系数是多少？
04
第四阶段预计 90 分钟
连续傅里叶变换
当周期无限长，离散谐波变成连续频率
傅里叶级数处理周期信号；傅里叶变换把“重复周期”推向无穷大，因此频率间隔趋近于零，得到连续频谱。
积分号 ∫ 表示连续地累加；指数中的 i 是复数单位。先不必计算积分，只需记住左式“从时间分析频率”，右式“从频率重建时间”。
正变换：分析
X(f) = ∫−∞∞ x(t)e−i2πft dt
让信号分别与每个频率的反向旋转做比较。
逆变换：重建
x(t) = ∫−∞∞ X(f)ei2πft df
按频谱给出的权重，把所有旋转重新相加。
一句人话翻译
把候选频率 f 的“小探针”放进信号里。如果两者节奏一致，长期累加不会互相抵消，X(f) 就大；节奏不同则正负抵消，X(f) 接近零。
时间越窄频率越宽
短脉冲需要很多频率共同合成。
时间越宽频率越窄
持续很久的纯音频率更集中。
时间平移相位改变
幅度谱不变，但相位随频率倾斜。
时间卷积频率相乘
滤波器因此能在频域高效工作。
接上上一课
从一排频率刻度，走到整条频率轴
周期为 T 的信号只需要 f₀ = 1/T 及其整数倍，频谱像一排分开的刻度。把用于分析的时间范围拉长，刻度间隔 1/T 变小；在适当条件下，离散求和的极限就变成对连续频率的积分。
X(f) 通常是复数。|X(f)| 描述该频率成分的大小，arg X(f) 描述相位；只看幅度会丢掉波形如何对齐的信息。若把信号整体延后 τ 秒，频谱会乘上 e−i2πfτ：幅度不变，相位随频率改变。
跟着算一遍
- 先想宽 0.2 秒的矩形脉冲：第一个频域零点在 1/0.2 = 5 Hz。
- 把宽度改成 0.1 秒，零点移到 10 Hz，说明更短的事件需要更宽的频率范围。
- 把脉冲整体向右平移：宽度没有变，因此幅度谱的形状不变；改变的是相位。
带着数字看
一个脉冲为什么有许多频率？
令 x(t) 在 −τ/2 到 τ/2 之间等于 1，其余为 0。代入变换定义可得 X(f) = τ sinc(fτ)，其中 sinc(u) = sin(πu)/(πu)，且 sinc(0) = 1。第一个零点在 |f| = 1/τ：脉冲越短，主瓣越宽。
自己试试：脉冲宽度从 0.2 秒减到 0.1 秒，第一零点怎样变化？
从 5 Hz 移到 10 Hz。时间宽度减半，频域主瓣的尺度约变成两倍。
概念检查
一个持续时间极短的脉冲，它的频谱通常更窄还是更宽？
05
第五阶段预计 80 分钟
DFT 与 FFT
让计算机也能“看见”频率
现实中只有有限个采样点。离散傅里叶变换（DFT）把 N 个时域样本变成 N 个频域格点。
方括号表示编号：x[0] 是第一个采样值，X[0] 是第一个频率结果。n 在时域数点，k 在频域数格；N 是真实采样点的总数。
X[k] = Σn=0N−1 x[n] · e−i2πkn/Nk 是频率格点，n 是采样点编号
DFT
数学变换本身；直接计算约需 O(N²) 次运算。
FFT
快速计算 DFT 的算法族；典型复杂度 O(N log N)。结果不是“另一种频谱”。
频率分辨率Δf = fₛ / N
观察时长T = N / fₛ
要分开两个很接近的频率，关键通常不是盲目提高采样率，而是增加观察时长。
频谱读图训练
示例：fₛ = 64 Hz，N = 6408162432 Hz
为什么只画到 32 Hz？
对实信号，负频率与正频率共轭对称；最高无歧义频率是奈奎斯特频率 fₛ/2 = 32 Hz。
把字母放回数据里
n 是第几个样本，k 是第几个频率格点
采样率 fₛ 表示每秒取多少个样本，x[n] 是在 t = n/fₛ 秒取得的第 n 个值。DFT 对每个候选格点 k 计算一次相似程度，格点的实际频率是 fₖ = kfₛ/N。输出 X[k] 仍是复数，既包含强弱，也包含相位。
例如 fₛ = 64 Hz、N = 64，记录正好长 1 秒，每个格点相隔 1 Hz。图中的第 5 格是 5 Hz，第 12 格是 12 Hz。实信号的后一半格点对应负频率，和前一半共轭对称；第 0 格是直流，第 32 格是奈奎斯特边界。
照着读图
- 先读题头的 fₛ 和 N，算出 Δf = 64/64 = 1 Hz，再看峰出现在哪些格点。
- 比较两个峰的高度：它只说明示意图中的相对强弱，未经归一化不能直接当成原始振幅。
- 点开“为什么只画到 32 Hz”，结合实信号的正负频率对称性核对答案。
带着数字看
采 1000 点，能分开多近的频率？
当 fₛ = 1000 Hz、N = 1000，记录时长 T = 1 秒，DFT 格点间隔 Δf = 1 Hz。补零后若用 4096 点 FFT，显示格点变成约 0.244 Hz，但真实记录仍只有 1 秒，补零只是让频谱曲线采样更密。
自己试试：想把格点间隔降到 0.5 Hz，应记录多久？
至少记录 2 秒，因为 Δf = 1/T。在 fₛ 不变时，需要 2000 个真实采样点；补零不延长观察时间。
概念检查
给同一段数据补零，会增加真实的观察时长吗？
06
第六阶段预计 60 分钟
采样与混叠
采得太慢，高频会“伪装”成低频
为了无歧义重建最高频率为 fₘₐₓ 的带限信号，采样频率必须满足 fₛ > 2fₘₐₓ。等号在工程中没有安全余量。
“带限”表示信号里不会出现高于某个上限的频率。这个上限必须在采样前就有保证；把数据采进来后再删高频，已经无法撤销混叠。
fₛ > 2fₘₐₓ
混叠不是模糊，而是认错
采样后，超过 fₛ/2 的频率折回低频区。例如用 20 Hz 采样 17 Hz 正弦波，样本看起来像 3 Hz。
- 采样前用模拟低通滤波器去掉过高频率。
- 采样时保留足够余量，不只满足理论下限。
- 分析时确认单位、采样率和奈奎斯特边界。
混叠实验
先分清两个时间尺度
采样间隔决定多密，记录时长决定看多久
每隔 1/fₛ 秒取一个点，得到的只是连续信号在这些时刻的数值。若原信号中有超过 fₛ/2 的频率，它可能与较低频率在所有采样时刻给出同一组数字，这就叫混叠。提高采样率可以提高可无歧义表示的频率上限；想分开很接近的频率，还要保证记录时间足够长。
画图中的低频曲线是与采样点相符的一个“解释”，不代表机器已经找回原信号。17 Hz 以 20 Hz 采样时对应有符号的 −3 Hz，负号表示正弦相位反转。若采样前没有限制高频，采样之后的算法无法知道这组点原来属于哪一个频率。
照着实验
- 设真实频率 17 Hz、采样率 20 Hz，观察采样点同时落在高频波和低频别名曲线上。
- 只把采样率调到 40 Hz，奈奎斯特频率变为 20 Hz；17 Hz 不再折返。
- 把采样率调回 20 Hz，再试 3 Hz：两组采样点关于中线镜像；3 Hz 反相后便与 17 Hz 的样本重合。
带着数字看
20 Hz 采样的 17 Hz 变成什么？
在 t = n/20 秒处，sin(2π·17n/20) = sin(2πn − 2π·3n/20) = −sin(2π·3n/20)。样本与相位反转的 3 Hz 波完全一样；仅凭这些样本无法确定原信号是 17 Hz 还是低频别名。
自己试试：如果改用 50 Hz 采样 17 Hz，是否仍会折返？
不会。奈奎斯特频率是 25 Hz，高于 17 Hz；实际系统仍需要采样前滤波和合理余量。
概念检查
发生混叠后，只凭已采得的样本能恢复原来的 17 Hz 吗？
07
第七阶段预计 70 分钟
窗函数与频谱泄漏
截取一段信号，本身就是一次乘法
DFT 默认这段数据会首尾相接、周期重复。如果两端接不上，就形成突变，能量会“泄漏”到邻近频率。
这里的“窗”是一串乘到样本上的权重，不是另一个频率。不同窗口决定边缘的样本保留多少，也就决定频谱主瓣与旁瓣的取舍。
没有“最好的窗”
主瓣越窄，越能分开相近频率；旁瓣越低，越能看清强峰旁的弱峰。两者通常不可兼得。
窗形与频谱权衡
上：窗口权重 下：64 点窗口的归一化频率响应（中心为 0，横轴范围 ±8 个频率格点）
把两张图连起来
为什么两端变小，会改变频谱的形状？
截取 N 个样本，等价于把原信号乘上一个“只在这段时间内存在”的窗口。矩形窗的权重始终为 1，边缘可能突然截断波形；Hann 和 Blackman 在边缘逐渐降到零，减少突变。时间中的乘法对应频率中的卷积，所以窗口自身的频率响应会影响测得的频谱。
下方图画的是窗口自身的归一化频率响应，不是某个输入信号的频谱。中间的大峰叫主瓣，旁边的小峰叫旁瓣。纵轴使用幅度分贝：−40 dB 表示幅度约为峰值的 1/100。低旁瓣利于看见强信号旁的弱信号，但宽主瓣可能把邻近峰混在一起。
照着实验
- 先选矩形窗，记住下图中央主瓣宽度和两侧旁瓣。
- 切换 Hann，再切 Blackman：比较中央主瓣变宽了多少、旁瓣又降低了多少。
- 回到“要分开两个很近的强峰”和“要发现强峰旁的弱峰”两个目标，尝试分别选窗并说出代价。
带着数字看
窗会怎样改变读出的幅值？
对 64 点周期 Hann 窗，窗口权重的平均值是 0.5。一个正好落在内部 DFT 格点、远离直流和奈奎斯特频率的纯音，乘窗后的峰值约为未乘窗时的一半；做幅值标定时需要补偿这个相干增益。若频率不落在格点上，还会有栅栏效应，不能只靠乘 2 解决。
自己试试：需要观察强峰附近的弱信号，三种窗优先比较哪一个？
可先比较 Blackman 窗：它的旁瓣较低，代价是主瓣更宽。若两峰距离极近，也要检查较宽主瓣是否把它们合在一起。
概念检查
在这三种窗中，哪一种通常具有最低的旁瓣？
08
第八阶段持续精进
走向精通
会算只是起点，会选择才是能力
大师不是记住更多公式，而是知道假设何时成立、误差从哪里来、该换哪一种工具。
滤波与去噪
滤波器像频率筛子：规定哪些频率容易通过、哪些被压低。频率响应就是这把筛子对不同频率的作用。
- 先画出想保留的频带与要压低的频带
- 比较有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）滤波器
- 用卷积定理检查滤波结果，并留意边界处理
短时傅里叶变换
把长记录切成互相重叠的短窗口，每段分别算频谱，再按时间排成声谱图。颜色越亮，通常表示该时刻该频率的能量越强。
- 长窗口更利于分辨接近的频率
- 短窗口更利于定位突然发生的变化
- 检查颜色刻度和每段窗口的归一化方式
图像与空间频率
图像沿水平和垂直方向都可能重复。缓慢变化对应低空间频率，细纹理与锐利边缘包含更多高空间频率。
- 低通通常让图像变得平滑
- 高通突出细节，也可能放大噪声
- JPEG 使用与傅里叶思想相关的离散余弦变换
从信号走向随机过程
傅里叶方法本质上是在一组基函数上做投影。对随机噪声，单次幅值谱波动较大，常改用功率谱密度描述功率如何分布到频率上。
- 用线性代数理解正交与投影
- 用理想脉冲模型理解冲激响应
- 区分确定性信号的幅值谱与噪声的功率谱
把分析写成流程
先定义问题，再决定用哪一种频谱
若只问稳定纯音“有哪几个频率”，整段 FFT 往往够用；若问“什么时候开始变快”，就要分段做短时傅里叶变换。若关心随机振动或噪声在各频段的强度，可进一步使用功率谱密度；它与单次 FFT 幅值谱的单位和含义不同，报告时不能混称。
无论选择哪一种图，都要回到原始时域数据检查：是否饱和削顶，是否有异常跳变，是否记录了正确单位。频谱上的一个峰可能来自真实周期运动，也可能来自干扰、泄漏或采样设置；最好用重复测量或改变参数交叉验证。
五步分析清单
- 写清目标：要找峰值、比较两频率，还是定位变化时刻？
- 根据目标最高频率选采样率，并在采样前安排抗混叠滤波。
- 根据希望区分的频率差选真实记录时长，再决定窗口与 FFT 点数。
- 说明单双边谱、归一化和窗口增益，给幅值附上单位。
- 检查噪声、漂移和重复性，报告结果的限制而不只报告一个数字。
毕业挑战
为一段振动信号设计完整分析流程
说明采样率、记录时长、窗函数、FFT 点数、幅值标定，并解释可能出现的混叠与泄漏。
完整方案示例
分析最高约 180 Hz 的设备振动
先在采样前用抗混叠滤波限制高于目标频带的成分，再以 1000 Hz 采样。记录 4096 个真实样本时，时长为 4.096 秒，DFT 格点约 0.244 Hz。若频率会随时间变化，再把记录分段做短时傅里叶变换；每段使用 Hann 窗，并报告窗的幅值修正、时间分辨率和频率不确定性。
自己试试：为什么把同一批 4096 点数据补零到 8192 点，不等于记录了 8.192 秒？
补上的点没有新的测量信息。显示格点会更密，但真实观察时长仍是 4.096 秒，相近频率的可分辨能力没有凭空提高。
概念检查
信号频率随时间明显变化时，应优先增加哪种分析？
把知识串起来
三个真实分析场景
每个场景都先定义问题，再选采样与分析参数，最后检查结果能否支持结论。
识别基音与谐波
一个稳定音包含 440 Hz 基音和 880 Hz 二次谐波。以 8000 Hz 采样 1 秒，取得 8000 点，格点间隔为 1 Hz；这两个频率正好位于第 440 与 880 个格点。
- 先检查音频中是否还有高于 4000 Hz 的成分；采样前应限制超出奈奎斯特范围的频率。
- 对恰好同步的一秒记录，可用矩形窗观察窄峰；普通录音边界不一定对齐，改用 Hann 窗比较泄漏。
- 报告单边谱幅值时，对内部频率格点使用相应的单边谱与窗口增益修正，不把原始 |X[k]| 直接称为振幅。
预期观察：基音 440 Hz，二次谐波 880 Hz；“音高”通常由基音决定。
区分相近的机械频率
怀疑设备同时存在 48 Hz 与 50 Hz 振动。以 1000 Hz 采样 4000 点，记录 4 秒，格点间隔 0.25 Hz；两个目标频率相差 2 Hz。
- 确定传感器与采样前滤波能覆盖目标频带，同时抑制超过 500 Hz 的成分。
- 若频率不稳定，使用 Hann 窗减少泄漏，并比较多个时间段；不要只凭一次 FFT 的最高峰下结论。
- 给出频率估计、幅值标定方式、噪声底和随时间变化的范围。
预期观察：充分长的稳定记录能显示两个分开的峰；频率漂移会使峰变宽。
找到频率变化的时刻
一秒内频率从 100 Hz 升到 500 Hz。整段 FFT 会汇总所有时刻的能量，无法指出何时经过 300 Hz；这时改用短时傅里叶变换。
- 以 2000 Hz 采样。每窗取 256 个真实样本，对应 128 毫秒；窗内格点间隔约 7.8 Hz。
- 相邻窗口移动 64 个样本，即每 32 毫秒更新一次观察，配合 Hann 窗得到随时间变化的频谱。
- 若想更准确定位变化时刻，可缩短窗口，但频率分辨能力会下降。
预期观察：声谱图上的亮带随时间从低频向高频移动。
六个经常混淆的判断
提高采样率就一定能分开近邻频率？
不一定。固定样本数 N 时，Δf = fₛ/N 反而变大；要延长真实观察时长。
补零能增加新信息？
不能。它让频谱曲线的显示格点更密，不能替代更长的记录。
加窗能修复混叠？
不能。混叠在采样时已经发生；应在采样前滤波并选足够高的采样率。
只看幅度谱就能重建波形？
通常不能。相位记录各频率如何对齐，重建需要复数频谱的信息。
FFT 得到的是另一种变换？
不是。FFT 是计算 DFT 的快速算法，频率格点仍由采样率和点数决定。
频谱柱高度就是原始信号幅值？
未必。要说明单双边谱、DFT 归一化、窗口增益及频率是否落在格点上。
随手查
傅里叶公式速查表
不要死记。每次查阅时，都把符号和“它在测量什么”对应起来。
先认符号，再看公式
同一个字母放在不同括号里，含义可能不同。连续信号写成 x(t)，采样后的第 n 个值写成 x[n]；同理，连续频谱是 X(f)，DFT 的第 k 个结果是 X[k]。
- t、T
- t 是时间位置，T 常表示周期或总观察时长；看上下文区分，单位都是秒。
- f、fₛ、ω
- f 是每秒循环次数（Hz），fₛ 是每秒采样次数（Hz），ω = 2πf 是角频率（rad/s）。
- A、φ
- A 是正弦波幅值，φ 是起始相位；相位可用度或弧度表示，代入公式时要统一单位。
- N、n、k
- N 是真实样本数，n 标记时域样本，k 标记 DFT 的频率格点。
- i、|X|
- i² = −1；频谱 X 往往是复数，|X| 是它的模，只表示大小，不包含相位。
- ∫、Σ、*
- 积分和求和都是累加；卷积公式中的 * 表示卷积，不是普通乘法。
正弦波
x(t)=A sin(2πft+φ)A 管高度，f 管快慢，φ 管起点。
欧拉公式
eiθ=cosθ+i sinθ单位圆上的横、纵坐标。
连续变换
X(f)=∫x(t)e−i2πftdt把信号与候选频率比较。
卷积定理
F{x*h}=X·H这里的 * 是卷积；时域卷积对应频域相乘。
DFT 格点
fₖ=kfₛ/N第 k 个格点对应的频率。
奈奎斯特
fₛ>2fₘₐₓ带限信号无歧义采样的基本条件。
格点间隔
Δf=fₛ/N=1/T由真实观察时长决定。
Parseval
∫|x|²dt=∫|X|²df在此变换定义下，两域总能量相等。